l4o APPUCATION DE I.'aNAI.ÏSE ALGEBRIQUE 



tion dérivée intermédiaire, en donnant deux résultats po- 

 sitifs ou deux résultats négatifs pour les fonctions précé- 

 dente et suivante. Il suit donc rigoureusement des principes 

 de l'analyse algébrique que l'équation F {x ,n)^o n'ayant 

 aucune valeur critique, n'a point de racines imaginaires. 

 Cette conséquence est entièrement indépendante de la va- 

 leur du nombre entier n : quel que puisse être ce nombre n, 

 et quand on supposerait qu'il croît de plus en plus, et de- 

 vient plus grand que tout nombre donné , chacune des 

 équations que l'on formerait aurait toutes ses racines réelles 

 et positives. 



On supposera n infini , et désignant par ip (ra , x) la fonction 

 transcendante, on voit que l'équation <p(«,ar) = o n'est autre 

 chose qu'un cas particulier de l'équation ¥{n,x)^o. Elle ap- 

 partient au système de toutes les équations que l'on forme, en 

 donnant à «dans F(«,j:) les différentes valeurs r,2,3,4i5,etc. 

 à l'infini ; et comme on ne trouverait ainsi que des équations 

 dont toutes les racines sont réelles, on en conclud que cette 

 propriété, entièrement indépendante du nombre n, subsiste 

 toujours lorsque n devient plus grand que tout nombre 

 donné. Alors la fonction est transcendante, et l'équation de- 

 vient (p(r) = o. Donc cette équation n'a point de racines ima- 

 ginaires. On pourrait regarder comme superflu tout examen 

 ultérieur de l'équation (p(r):=:o; et toutefois la conclusion 

 deviendra encore plus conforme aux principes communs de 

 l'analyse algébrique, en le présentant comme il suit. 



Soitn.T = r: nousavons ditque, par l'emploi des construc- 

 tions, ou en remarquant les propriétés de l'expression de <p(r) 

 en intégrale définie ,on voit que la courbe dont l'équation est 

 Y=fo{r) a une infinité de sinuosités , et qu'elle coupe l'axe 



