AUX ÉQUATIONS TRANSCENDANTES. \^J 



fonction transcendante (p(/'), parce qu'il y a, comme je l'ai re- 

 marqué autrefois, plusieurs cas oii le produit des facteurs 

 simples ne forme pas le premier membre de la proposée. 



Il résulte donc de l'analyse précédente que la fonction !p(r) 

 est le produit de tous les facteurs du premier degré 



r r r r ^ 



'-a' '-g' '-y' I-j'«tC- 



qui correspondent aux. racines. Cela posé, il est manifeste 

 qu'aucune valeur différente des grandeurs réelles a, p, y, S, etc. 

 ne pourrait faire évanouir cette fonction f{r). En effet un 



facteur tel cjue i ne peut devenir nul que si l'on fait r:= a: 



donc si l'on donnait à x une valeur quelconque réelle ou 

 imaginaire qui ne seraitni «, ni p, ni y, etc., aucun des fac- 

 teurs ne serait nul ; donc le produit aurait une certaine valeur 

 non nulle. Donc si l'on met pour r dans «p (r) une valeur quel- 

 conque, soit qu'on la suppose ou réelle ou imaginaire, et si 

 elle n'est point une des racines que nous avons désignées 

 par a, p, y, â, etc., la fonction 9 (r) ne devient point nulle: 

 donc l'équation transcendante <pr = o a ces racines réelles 

 «, {5,y, ^, etc., et n'a aucune autre racine ouréelle ou imaginaire. 



Il est remarquable que l'on parvienne ainsi à démontrer 

 que toutes les racines de l'équation transcendante ^(r) = o 

 sont réelles, sans qu'il soit nécessaire de regarder comme 

 connue la forme des expressions imaginaires, qne l'on sait 

 être celle du binôme y. + vV/-^. 



Au reste, en considérant a priori que si les équations déter- 

 minées propres à la théorie delà chaleur avaient des racines 

 imaginaires, leur forme ne pourrait être qae celle du 

 binôme |a + v l/Z:7, on voit qu'il est pour ainsi dire superflu 



