33o MÉMOIRE SLR LE MOUVEMENT 



Mais tons les éléments de ces intégrales étant réels et posi- 

 tifs , cette équation ne pourra pas subsister à moins qu'on 

 n'ait P = o et Q^o dans toute la hauteur du fluide supé- 

 rieur, et R^o et S = o dans toute celle du fluide inférieur; 

 ce qu'on peut regarder comme impossible; donc aussi, il est 

 impossible que l'inconnue a ait des valeurs en partie réelles 

 et en partie imaginaires, ou dont le carré ne soit pas une quan- 

 tité réelle (*). 



Il en sera de même à l'égard de a', en vertu de la liaison 

 qui existe entre cette quantité et «; mais comme on a supposé 

 (n° 3) qu'on ne pendrait pour a et a', qu'une seule des deux 

 valeurs égales et de signe contraire dont chacune de ces quan- 

 tités est susceptible, et que l'équation (12) n'a lieu que dans 

 cette hypothèse, il s'en suit quelle ne pourrait pas servir à 

 prouver que a et a' n'ont pas de valeurs imaginaires de la 



(*) Cette démonstration a été ajoutée depuis la lecture de ce Mémoire. 

 Nous ferons observer, à cette occasion, que dans une question différente 

 de celle-ci , on pourrait craindre que les quantités P , Q, R, S, ne fussent 

 de la nature des fonctions de x qui sont nulles dans un intervalle déter- 

 miné des valeurs de la variable, savoir, P et Q depuis x=/i — ^jusqu'à 

 .i=A, et R et S depuis jc^=h jusqu'à x = h-rl. Alors il ne serait plus 

 suffisamment prouvé que l'inconnue n'eût que des valeurs réelles; mais 

 si elle en avait d'imaginaires , les termes correspondants n'entreraient pas 

 dans les sommes 2 , puisque leurs coefficients U et V seraient nuls en même 

 temps que P, Q, R, S. Cette remarque est nécessaire pour prévenir un 

 objection qu'on pourrait élever contre l'usage de la démonstration précé- 

 dente , dans tous les problèmes de physique ou de mécanique, où l'on ex- 

 prime les intégrales par des séries d'exponentielles ou de sinus dont les 

 exposants ou les arcs sont-proportionnels au temps et ont des coefficients 

 donnés par une équation transcendante qui est souvent très-compliquée. 



