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et désigne par P, et Q, , ce que deviennent /j, et q,, quand 

 on y remplaceyet /' par F et F'. 



(lo) Les sommes des formules (i8) et (ig) seront les ex- 

 pressions complètes de u et v qu'il s'agissait d'obtenir. Il ne 

 restera donc plus qu'à les substituer dans les équations (2), 

 pour avoir les valeurs de y et «p' qui répondent au cas où les 

 deux fluides superposés s'étendent indéfiniment en tous sens. 

 Ces valeurs se trouveront exprimées par des intégrales sex- 

 tuples dont chaque élément satisfera isolément aux équa- 

 tions (i). Pour la valeur particulière x=^h^ on a 



III I dp dij dp^ dq^ 



-./> = ^^, -,/», — ^T^-Zo ^t;— ;y7' Ti — Ti' 



et de même à l'égard de P, Q, P,,Q'; au moyen de quoi les 

 équations relatives à la surface de contact des deux fluides, 

 sont aussi vérifiées. Quant aux équations qui répondent à 

 a;=A — k et 'x = h -h l , elles disparaissent dans le cas de 

 k = oo et / = oo ; par conséquent les expressions de tp et <p' 

 dont il s'agit, satisfont effectivement à toutes les équations 

 différentielles du problème. 



Dans le cas de a' = a, les formules (19) s'évanouissent. En 

 effet, supposons que la différences — <?' ne soit qu'infini- 

 ment petite; faisons 



a' ci';=ic', â = c5', «' = 0(0, da.'=cd(a; 



^' sera une quantité finie, et l'intégrale relative à w aura w = o 

 et w = J' pour limites; mais, en même temps , c' sera facteur 

 de P, , P, , Q, , Q, , et c facteur de u et v qui s'évanouiront 

 conséquemment avec cette quantité. De plus on aura a'=a, 

 et par suite 



