()() MÉMOIRE SUR r/lNTÉGRATION 



On sait que, dans toute équation aux différences,si l'on donne 

 une valeur déterminée à la variable, on pourra toujours trou- 

 ver l'expression de l'inconnue , à 1 aide d'un certain nombre 

 d éliminations successives. Intégrer l'équation proposée n'est 

 autre chose que trouver le l'ésultat d'un nombre indéfini d'éli- 

 minations. Non seulement ce proJjlème n'a pas été résolu dans 

 toute sa généralité, mais même parmi les équations qu'on 

 appelle linéaires, on ne sait résoudre complètement que celles 

 du preniier ordre, dont l'intégrale a été donnée par Lagrange. 

 L'intégration des équations linéaires aux différences est une 

 question d'autant plus importante, qu'elle se présente lors- 

 qu'on cherche l'expression en série de l'intégrale des équa- 

 tions différentielles linéaires; équations qui se rencontrent 

 sans cesse dans les applications de l'analyse au calcul des 

 ])hé!ioinènes naturels. 



.l'ai jjublié, en 1827, un Mémoire sur quelques formules 

 générales d'analyse, dans lequel je suis parveinià exprimer le 

 ternie général du dévelop|3ement du polynôme , sans passer 

 ])ar les termes précédents, comme on l'avait fait jusqu'alors. 

 Pour arriver à cette formule, j'ai dû intégrer une équation li- 

 néaire aux dirCérences d'ordre indéfini. Maintenant, pourtrou- 

 \cr l'intégrale d'iuie équation linéaire aux différences d'un or- 

 dre déterminé quelconque, j'ai taché de réduire cette équatioji 

 à une autre équation d'oi-dre indéfini du genre de celles que 

 j'a\ais intégrées dans le Mémoire cité. A cet effet, j'ai supposé 

 (|ue l'équation ])roposée était d'ordre indéfini, et puis j'ai 

 nuiltiplié chacun de ses termes par une fonction discontinue 

 telle, qu'elle devînt zéro par tous les termes ajoutés à l'équa- 

 tion ])roposée, et cju'elle fût égale à l'imité pour tous les ter- 

 mes comj)ris dans cette équation. De cette manière, ayant 



