DES NOMBRES. 473 



On se trouve donc ainsi ramené à l'une des formules que 

 nous avions déduites directement de la formule (8). 



On pourrait remarquer que l'unité, par laquelle nous avons 

 remplacé le coefficient 



1.2.3.4 /■ 



"" — (1.2) (1.2)-''' 



est équivalente à ce coefficient suivant le module 5. Mais on 

 se tromperait si l'on supposait que, dans le cas où p — i 

 divise h + k sans diviser h et k , l'on a toujours 



n^.k^i, (mod./j). 



Effectivement , en prenant comme ci-dessus ^ = 5 , on 

 trouvera 



n-.3 = ^^:(S) = 4 = -i,(mod.5). 



En général, si p—i divise h + k, sans diviser h et k, 

 alors h et k , étant réduits chacun à l'un des nombres 



I, 2, 3, .../? — 2, 



fourniront une somme précisément égale à p — i ; en sorte 

 qu'on aura 



h + k=/7 — I = — I, (mod./>) 



k= — h — I, {moà.p), 



et par suite 



(k+i)(k-h2)...(k + h)=(— i)''i.2.3...h. 



Or, on tire de cette dernière formule 



,_ ^h_ (k + i)(k+2)...(k + h) _ i.2.3...(k+h) ^ 



*^ '-' - 1.2... h -(l.2...h)(l.2...k) 



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