DES NOMBRES. ^yg 



Au reste, sans recourir aux tables qui fournissent, pour 

 chaque module, l'indice correspondant à un nombre, ou le 

 nombre correspondant à un indice donné, on pourrait, à 

 l'aide de simples additions et soustractions, obtenir faci- 

 lement des quantités équivalentes aux diverses valeurs 

 de Ilbk, c'est-à-dire, aux nombres figurés des divers ordres. 

 En effet, d'après les propriétés bien connues de ces nom- 

 bres, on peut les déduire par addition les uns des autres, 

 en formant ce qu'on appelle le triangle arithmétique de 

 Pascal. Il suffira donc, pour arriver au but que l'on se pro- 

 pose , de calculer quelques-uns des termes que doit ren- 

 fermer le triangle arithmétique , en réduisant chacun d'eux 

 à un nombre inférieur au module donné, ou à une quantité 

 dont la valeur numérique ne surpasse pas la moitié de ce 

 module. Entrons à ce sujet dans quelques détails. 



Supposons les deux nombres h, k inférieurs au module p 

 ou même a. p — i . Il suit évidemment de la formule (47) , 

 que les valeurs de 



H/,,;, n/,_,_{, !!/,,*_,, 



seront respectivement égales aux produits du rapport 

 i.a.3...(h-Hk— i) 



[(I.2...(h-I)][(l.2...(k-I)]' 



par les trois nombres 



h-hk I I 

 "TT' k' h- 



Or, comme le premier de ces trois nombres est précisément la 

 somme des deux autres, nous devons en conclure que l'on 

 aura 



(58) nb,k=nt_.,t-»-n, 



h,k- 



