DES NOMBRES. 53q 



m étant premier à n, c'est-à-dire, impair; et les termes 



seront généralement affectés de signes contraires dans une 

 somme alternée (O des racines primitives de l'équation (i). 

 D'autre part, puiscpie, pour des valeurs paires de n, l'équa- 

 tion (i) se décompose en deux autres, savoir 



(26) a;':=:i, (27) ^' = I, 



et qu'une racine primitive p de l'équation (i) ne peut vé- 

 rifier l'équation (26), on aura nécessairement 



n 



p" = — I, et p'=— p', 

 ou , ce qui revient au même , 



p'+p''=0. 



Donc, si n est une puissance de 2 supérieure à la troisième, 

 une somme alternée CD des racines primitives de l'équa- 

 tion (i) sera composée de telle manière, que les termes affectés 

 du même signe se détruiront deux à deux, en fournissant des 

 sommes partielles égales à zéro. Donc alors , la somme <Q sera 

 nulle elle même, et l'on aura 



(B = 0. 



En résumé , si n est un nombre premier ou une puissance 

 d'un tel nombre, la somme alternée ce sera nulle, à moins 

 que n ne se réduise à 4 ou à 8, ou à un nombre premier 

 impair. 



D'ailleurs, lorsque œ ne sera pas nul , on aura toujours 



(©' = ± /i, 



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