61 5 



La formule (18), avec la démonstration que nous en avons 

 donnée, peut être étendue, ainsi que la formule (24), à des 

 valeurs imaginaires de a, renfermées entre certaines li- 

 mites. Ainsi , en particulier, la formule (^4) continue de 

 subsister, comme l'a dit M. Poisson , quand on y remplace a' 

 par «^ \y^-~i. Elle subsiste même généralement , quand on 

 prend pour cû une expression imaginaire, pourvu que les 

 parties réelles de a et de i soient nulles ou positives; et 

 l'on peut retrouver aussi une autre formule, déduite par 

 M. Poisson de l'équation (18), dans un Mémoire sur le calcul 

 numérique des intégrales définies. J'ajouterai que, pour ar- 

 river au cas où la partie réelle de a s'évanouit, il convient 

 d'examiner d'abord celui où la même partie réelle est infi- ' 

 niment petite, mais positive; et qu'en opérant de cette ma- 

 nière, on peut, de la formule (24), déduire la somme de 

 certaines puissances d'une racine de l'équation binôme 



(30) X":=l, 



n étant un nombre entier quelconque ; savoir : la somme des 

 puissances qui ont pour exposants les carrés des nombres 

 entiers inférieurs à n. C'est ce que nous allons expliquer plus 

 en détail. 



Nommons p une racine primitive de l'équation (3o). On 

 pourra supposer 



(3i) p = e»v/^, 



la valeur de a> étant 



(32) „=- 



