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4°, si n est de la forme l\x + 3, 



(48) fi= 



Ainsi les formules (44), (4^^), (46), (4?), (48) que M. Gauss a 

 établies dans l'un de ses plus beaux mémoires, et dont 

 M. Dirichlet a donné une démonstration nouvelle en i835, se 

 trouvent compriseSjComme cas particuliers dans l'équation (24) 

 de laquelle on déduit immédiatement la formule (44), ^'i 

 attribuant à l'exposant — a' une valeur infiniment rapprochée 



de la valeur imaginaire — l/^ , ou, ce qui revient au même, 



en réduisant l'exponentielle e~°' à une racine primitive p de 

 l'équation (3o). 



Il est important d'observer que , dans les équations précé- 

 dentes, la valeur de O, déterminée par la formule (35), peut 

 encore s'écrire comme il suit 



A 1 -<l I I _V a 



(49) 0=1 + al^p' + p' + p'-' + . . . + p' 



j3uisque , / étant un entier quelconque inférieur à -n, on 

 aura généralement 



{ii — iy = l\{moA.n). 



Nous avons supposé, dans ce qui précède, la valeur de p 

 déterminée par la formule (Si). Pour savoir ce qui arriverait 

 dans la supposition contraire, il convient d'examiner d'abord 

 séparément le cas où n est un nombre premier impair. Dans 

 ce cas, si l'on nomme 



h , Il , h' , . . . 

 les résidus, et 



/(■, k\ /,■",. . ., 



