DES NOMBRES. 6Gg 



quation (la), 



(17) '»=(-!) 



(m— i)fm— 3) |~" 



- — ' m 



1 



8" 



M. Gauss est parvenu le premier aux formules (11) et (i3), 

 qu'il a données en 1801, dans ses Recherches arithmétiques , 

 [§ 356^ , pour le cas où n est un nombre premier, mais sans 

 déterminer le signe du coefficient t„,, dont la valeur numé- 

 rique se réduit à l'unité. C'est dans le mémoire intitulé 

 Sdnunatio serierum quarumdam singularium que le même 

 géomètre , en reproduisant les formules (i 1) et (i3) , les a dé- 

 duites d'une méthode qui lui a permis de fixer le signe de ^.„. 

 Si, daus la valeur de p, que fournit l'équation (9), le 

 nombre m cessait d'être première n, alors, en vertu du 

 deuxième théorème de la note précédente, la somme al- 

 ternée (D , que détermine la formule (2) , se réduirait à 



(18) u9=:o; 



et, par suite, on aurait simultanément 



(>9) 



2m/îit imh'% imJcr: nmk'T: 



iCOS H COS h... — COS- COS .,.==0, 



n n n n 



•i.mhTZ ■ imh'r: ■ •itnk'K . imk'T: 

 sui 1- sin h... — sin sin ...= o. 



Donc, si l'on veut étendre les formules (i 1) et (1 3) au cas oii 

 les nombres m et n cessent d'être premiers entre eux , il 

 suffira d'admettre que, dans ce cas, la valeur du coefficient 

 représenté par i„ est nulle et vérifie l'équation 



(20) ' i,„ = o. 



Avant d'aller plus loin, nous rappellerons ici qu'en vertu 



