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on peut seulement aFfirnier quelle sera nulle ou positive. 

 Cest ce qii on démontrera sans peine, comme l'a fait 

 M. Dirichlet pour le cas où n est impair, à l'aide d'une 

 méthode de transformation qu'Euler a exposée dans le 

 i5^ chapitre de X Introduction à l'analyse des infinis, et 

 que nous allons rappeler. 



Puisque la formule (29) entraine généralement la for- 

 mule (3o), il est clair que , si l'on nomme 



a , S , Y, . . . 



ceux des nombres premiers qui ne divisent pas le module n , 

 on aui'a 



(63).+i^„ + ^„ + ...= 



Or, cette dernière formule, subsistant toujours, tant que la 

 série comprise dans le premier membre est convergente , ou , 

 ce qui revient au même, tant que m surpasse l'unité, quelque 

 petite que soit la différence m — i, pourra être étendue au 

 cas même où Ion a m= \. On aura donc , pour toutes les 

 valeurs entières de m^ et même pour /« ^ i , 



(64) ,.= (,-i)- (,-!)-(. -^.)^'- 



a,ë,Y,-- désignant les facteurs premiers qui ne divisent 

 pas m. Or, comme les facteurs, que renferme en nombre 

 infini le second membre delà formule (64), sont tous positifs, 

 il en résulte que la valeur de 3„ donnée par cette formule ne 

 sera jamais négative. Elle ne pourra donc être que positive 

 ou nulle. On a vu d'ailleurs f[ue les valeurs de 3„ étaient tou- 

 jours positives pour des valeurs de m supérieures à l'unité. 



