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(5), ou (6), un nombre impair, ou un nombre pair, suivant 



que le module n > 4 sera un nombre premier, ou un nombre 



composé. D'ailleurs, dans le dernier cas, ou peut, à l'aide 



d'une méthode souvent employée parles géomètres, réduire, 



comme on va le voir, la valeur numérique de l'exposant |7.. 



Prenons d abord pour n un nombre composé de la 



forme 8x + 7. Alors l'équation (4) pourra être remplacée par 



la formule (5), dans laquelle [a sera un nombre pair; et, 



comme par suite p'' sera un carré impair, c'est-à-dire, de la 



forme 8x+ i, x' devra être un carré de la même forme, 



et r' un carré pair. Cela posé, les deux facteurs 



î '- 



p'—x, p'+x, 



dont la somme sera ip', et le produit p*^ — a:'=«r', auront 



évidemment pour plus grand comnniu diviseur le nombre ;*; 



et, pour satisfaire à l'équation (5), on devra supposer 



t ? 



p' — x^=-Xij.n\ /?' -H a; = 2Ç1;', 



par conséquent 



(7) /?' = aM' -}- ê-u', 



a , ê , u ,v désignant des nombres entiers qui vérifieront les 

 conditions 



(8) aê=«, (9) ^UV=y. 



Il y a plus : comme le produit aê = « sera diviseur de /? — i, 

 on aura 



= -. [« = ■■ 



et par suite la formule (7) entraînera les conditions 



