22 MEMOIRE 



Multiplions la troisième équation (6) par dxdydz, puis in- 

 tégrons ses deux membres, et étendons les intégrales à tous 

 les points de A, ce qui donne 



I Zdi7i= I -j- dxdydi 



Pour fixer les idées , prenons l'axe des z vertical et le plan 

 desa;, j, au-dessous de A. Il y aura un nombre pair de points 

 de la surface qui auront la même projection sur ce plan ; 

 nous supposerons , pour simplifier , qu'il n'y en ait que deux , 

 en sorte que l'équation de la surface de A ne donne que deux 

 valeurs réelles de z en fonctions de x et j. Circonscrivons à 

 A, un cylindre vertical qui touche sa surface suivant une 

 certaine courbe par laquelle cette surface sera divisée en 

 deux parties, correspondantes aux deux expressions de z. 

 Si l'on exécute l'intégration relative à cette variable, on aura 



I Zdm = f 1 1 pdxdy^ — 1 pdxdf\ ; 



l'intégrale renfermée entre des parenthèses répondant à la 

 partie supérieure, et celle qui est comprise entre des crochets , 

 à la partie inférieure. La normale intérieure à la surface de A , 

 fait un angle obtus avec l'axe des z , dans la première partie, et 

 un angle aigu, dans la seconde: si donc, on désigne cet angle 

 par c, et par d(y l'élément différentiel de la surface, qui doit 

 toujours être positif, ainsi que sa projection dxdj, on aura 



dxdy= — COS. c^c, ou dxdy:=cos.cdfj^ 



selon qu'il s'agira de la partie supérieure ou de la partie in- 

 férieure de la surface de A. D'après cela, nous pourrons 



