112 SUR LEQUATIONQUI A POUR RACINES 



i*^'' Théorème. Concevons, pour fixer les idées, qu'il 

 s'agisse de déterminer les moments d'inertie principaux d'un 

 corps. Pour obtenir les limites des trois racines de l'équation 

 qui sert à déterminer ces moments, il suffira de supprimer 

 dans cette équation les termes qui s'évanouiraient si l'un des 

 axes coordonnés coïncidait avec l'un des axes principaux. 

 Alors on obtiendra une nouvelle équation qui sera immé- 

 diatement divisible par un facteur du premier degré , et 

 pourra être ainsi réduite à une équation du second degré 

 dont les deux racines seront réelles. Soient a, 6 ces deux 

 dernières racines, rangées par ordre de grandeur. Si, dans 

 l'équation proposée on substitue successivement à la variable 

 les quatre valeurs 



— CO, a, ê, CO , 



on obtiendra quatre résultats alternativement positifs et né- 

 gatifs. Donc la proposée aura trois racines réelles, l'une infé- 

 rieure à la quantité a, l'autre comprise entre les limites «, g, 

 la troisième supérieure à ê. 



La démonstration de ce théorème ne présente aucune espèce 

 de difficulté. Ajoutons qu'il se trouve compris comme cas 

 particulier dans un autre théorème plus général , et que je 

 vais indiquer. 



1^ Théorème . Si l'on nomme .s la somme des carrés de n 

 variables indépendantes x,y, z, u. . . , et r une fonction 

 homogène du second degré, composée avec ces mêmes varia- 

 bles, et si l'on cherche les valeurs maximum ou minimum, 



du rapport -, la détermination de ces valeurs dépendra d'une 



équation du n"" degré dont toutes les racines sont réelles. 



