a46 MÉMOIRE sur'la proportion 



Cette probabilité s'exprime aussi, comme on sait, par la 

 somme des x + i premiers termes du développement de 

 {q -h- p)'\ c'est-à-dire que l'on a également 



X = ? +nq p+ \ ' q p' + ... 



nin — \){ii — iL)...{n — x + i) n—x x 

 ■■■ + - \..l...x ^ P ■ 



Le calcul numérique de l'une et l'autre de ces expressions 

 équivalentes, peut être regardé comme impossible lorsque x 

 et n — X sont de très-grands nombres. Il est alors préférable 

 d'employer la formule (2), parce quelle se transforme immé- 

 diatement en une intégrale définie qui se réduit ensuite en 

 série très-convergente. 



(3) En intégrant x + i fois de suite par partie , et dési- 

 gnant par c une constante arbitraire, il vient 



"/(T 



ydy y X y'~^ x.x — I y' — ' 



x.x — I . , 



n — i.n — 2....« — X (i +y)"~' 



Comme on a /i > a; , tous les termes de cette formule , excepté 

 c, disparaissent pour ^^=00; si donc on désigne par a une 

 quantité positive quelconque , ou zéro , on aura 





y^dj a.' X a'~' x.x — i a'—' 



-t-^)"-^' (i + a)» n — I (1 -f-a)"-' n — 1.« — 2 (i +a)"-' 



x.x — I . . .2. 1 I 



n — i.n — 2...W — .3;(i+oe)"~' 



Dans le cas de a=o, cette équation se réduit à 



