(46 SUR DIVERS POINTS 



_ tang o 

 (i) cos A = cos 9 cos A', (2) tangP = . °., ; 



sin (A + A') sin ( A — A') 

 ^ ' " sin' A cos' A 



où il faudra seulement donner à A' sa valeur actuelle 22°. 



Pour développer les conséquences de ces formules, il faut, comme 

 nous l'avons fait pour la face boréale, donner à l'angle indéterminé 9 

 toutes les valeurs positives ou négatives qu'il peut prendre depuis (p = o 

 jusqu'à ç=r!:: 180°, et chercher les valeurs de A qui en résultent. Lors- 

 qu'elles se trouveront comprises parmi celles que le mouvement annuel du 

 soleil réalise, 1 illumination tangentielle aura lieu pour l'époque de l'année 

 où elles existent, et à l'heure marquée par l'angle horaire P, qui s'en dé- 

 duira. Mais, lorsque la distance polaire A, que les valeurs attribuées à 

 l'angle cp exigent, ne sera pas réalisable, il n'y aura pas d'illumination 

 tangentielle, même idéale, sur la face considérée. 



Faisons d'abord (p nul, ce qui suppose le rayon solaire dirigé suivant 

 l'apothème CD au moment de midi. L'équation donnera alors Ar:=A'^24°. 

 Or le soleil ne s'approche jamais aussi près du pôle, puisqu'en supposant 

 l'obliquité de l'écliptique égale à 24°, comme nous l'avons fait , sa plus 

 petite distance polaire annuelle, qui a lieu au solstice d'été, est 90° — 24° ou 

 ^&°. Ainsi, la face que nous considérons ne sera jamais illuminée tangen- 

 tiellement au moment de midi ; et le soleil se trouvera toujours élevé au- 

 dessus d'elle à cette heure-là, de sorte qu'elle se trouvera toujours entiè- 

 rement éclairée alors, comme nous l'avions déjà reconnu par les seules 

 considérations géométriques. 



La même impossibilité existera évidemmont pour toutes les valeurs 

 plus grandes de o qui ne donneront pas des valeurs de A réalisables. Le 

 phénomène ne commencera donc à être possible que pour celle qui don- 

 nera à A la moindre de ses valeurs effectives , c'est-à-dire 66°. On peut la 

 conclure de cette condition même, en faisant A égal k&Çi" dans l'équation (i), 

 et y mettant aussi pour A' sa valeur actuelle 22°, puis cherchant la valeur 

 de l'angle ç qui complète l'égalité ainsi spécifiée. On a alors 



cos QÇ)" ,, . „„ „-, , ,, 



cos cp =: , et 1 on en tire m::=o8.5o .ao . 



cos 22 ' 



L'angle horaire P, qui correspond à cette valeur de (p et de A, se calcule 



