562 DE LA VARIATION 



OU, en développant et réduisant, à cause de S^x:^^8x, et 

 d'autres égalités pareilles, à la suivante : 



àx.dèx' — Sx.dàx'+àj.dfy' — Sf.dAf + ^z.dèz' — âz.<^Az'=o. ...((>) 



Mais l'on a : 



Ai" . d^x = d{^x . ^x) — tidx . ^x = d{p,x . S.r') — ù^x'dt . Sx, 

 Sx . d\x' ^= d{Sx . Ax') — Sdx . Ax = d[Sx . Ax) — Sx'dt . Ax, 



et quatre autres équations pareilles en y et en z. 



Donc, en substituant dans l'équation (6), et remarquant 

 que les derniers termes A^'. Sx. dt, Sx. Ax'. dt, et leurs ana- 

 logues en j et en z, se détruisent par l'opposition de leurs 

 signes, cette équation (6) peut se mettre sous la forme 



d{Ax .Sx — ox.Ax' + Aj . Sy — Sy . Ay + Az . Sz — Sz.Az') = o, 



sous laquelle elle s'intègre immédiatement, et donne pour 

 résultat : 



Ax.Sx' + Ay.Sy' + Az.Sz — (Sx.Ax -•»- Sy.Ay + Sz.Az) = const...(y) 



y. Or, nous avons vu tdlit à l'heure que la variation des 

 éléments, durant un instant déterminé, n'entraîne point celle 

 des coordonnées; il s'ensuit donc nécessairement que 



Sx= -^ da + -yj^do + . . .+ -rr d/i = c 

 Ua do an 



'y-Tada + %dh^... + %^dh = o,) (8) 



Sz =~ da -\- -^db + . . .-y- -pf dh:=-o; 



da do an / 



et ces trois conditions , jointes à celles que nous avons dési- 

 gnées par (4) , présenteront alors les six équations du pre- 

 mier ordre qui seront les intégrales premières de la question. 



