596 DE LA VARIATION 



et l'on doit voir immédiatement qu'en faisant les mêmes opé- 

 rations sur l'intégrale première qui donne l'expression de 



la seconde arbitraire Z», l'on obtiendrait pour rf.-r-) d-r' 



et if --y- , des valeurs parfaitement égales aux seconds mem- 

 bres des trois équations précédentes , lorsqu'on y aura sim- 

 plement remplacé la lettre a par la lettre b. 



Remontons à présent à la fonction {a , b) dont il nous im- 

 porte de pouvoir démontrer que la différentielle par rapport 

 au temps t est toujours nulle. 



Si nous la développons, nous verrons qu'elle se compose 

 de 12 produits; c'est-à-dire que l'on aura 



j / .X f/a , de db , da db , da da , db 



a.[a,b) = -j- xa.-. -j- xa.j- +-7- xa.-j -j- xa.T- 



^ ' as d<f as rf<p d(f ds fl(p as 



da , db db , da db , da da , db 



+ -j- Xd.-rr ;- X d . ^ + -jr X d . -. jj X d . — 



au clih au clth dé du elih du 



da , db db , da db , da da , db 

 dv di dv du d^ dv dH dv 



Ainsi, comme nous venons de préparer les valeurs des 12 

 différentielles qui entrent chacune dans l'un de ces 12 pro- 

 duits, nous pouvons former immédiatement ceux-ci, les 

 ajouter avec les signes convenables, et procéder ensuite à 

 lexamen attentif de ce que cette somme deviendra. 



Après avoir opéré ce calcul qui n'offre aucune difficulté, et 

 fait la réduction de tous les termes qui se détruisent identi- 

 quement , nous obtiendrons pour résultat : 



! 



