G/^O DES ÉQUATIONS LINEAIRES AUX DIFFERENCES FINIES. 



lions, où elles entrent en petit nombre au premier degré, 

 et d'une manière semblable dans chacune des équations. 

 No.s formules n'exigent plus que de simples opérations d'al- 

 gèbre sur des cjuantités primitivement données. Pour l'é- 

 (juationdu second ordre, nous avons évalué, par une formule, 

 le nombre des termes , dont l'intégrale se compose, et la 

 même marche est applicable à tous les ordres. On sent bien 

 que la complication des formules finales doit s'accroître avec 

 l'ordre de l'équation, et, dès le second, l'espèce des combi- 

 naisons des coefficients est fort éloignée des produits de 

 termes contigus que l'on remarque dans la formule de La- 

 grange, pour le premier ordre: à mesure que l'ordre s'élève, 

 les combinaisons présentent un type particulier; mais dans 

 tons les ordres , une analogie naturelle demeure empreinte. 



Les équations àdillérences finies du second ordre s'offrent 

 dans un grand nombre de recherches spéciales, et, par 

 exemple, Lagrange lésa rencontrées dans une question re- 

 lative à la construction des instruments d'optique. M. Biot a 

 formé, pour ce problème, des expressions qui donnent ex- 

 pliciteiiK'ut les inconnues en fonction des quantités connues. 

 Pour le même sujet, M. Gauss a proposé un algorithme, qui 

 s'était déjà présenté à Euler, pour opérer la réduction en 

 fraction ordinaire d'une fraction continue. On ne peut niécon- 

 naître qu'à l'aide de ce symbole on ne parvienne à résoudre 

 exi)licitement l'équation linéaire du second ordre, sans der- 

 nier terme, ainsi que M. Terquem en a fait la remarque : 

 la composition de ce symbole a souvent occupé les analystes, 

 pour en décrire la loi, qui conserve toujours beaucoup de 

 complication : il sera maintenant facile de former le symbole 

 d Euler par les combinaisons que nous allons exposer; mais 



