648 DES ÉQUATIONS LINEAIRES AUX DIFFERENCES FINIES. 



sont toujours disposées dans l'ordre ascendant des indices 

 ni, m + I, .. . n. S'il devient nécessaire de rendre apparentes 

 les lettres r dans les sommes G(m,n), nous écrirons G(r„,r,). 

 Nous avons représenté ci-dessus le produit 



(i + xr^) (i + xr,) (i + ^7-,) . . . (i + xr„), 

 par 



I + ^R, +- x'R^+ . . . + x'-'R„_. + a;"R„, 



où les sommes R. , R,, R^, . . . renferment toutes les com- 

 binaisons des r^,r^,. . .r„, une à une, deux à deux, etc. 

 r.es fonctions homogènes H,(i,«), H,^i,n) etc., ne font 



partie que des R. , R,, . . . R,, pour lesquels « < = '!-±l: 

 si donc on rejette du produit 



i -4- xR, H- x'R, 4- x^R, + etc. H- x'R,, 



r tous les termes où i > '-^-±-^; a" que dans les R.,Rj, . . . R, , 



ou efface les combinaisons qui contiennent des lettres con- 

 tiguës ^/.//+,, et qu'ensuite on pose x=i; le produit 

 I + Ri + R= + etc., ainsi tronqué, sera la fonction G(i,/i) 

 ou G(r, ,r„). Nous allons reconnaître ses propriétés prin- 

 cipales. 



En écartant r\, composons avec les lettres r\,r,,. . . r„_, 

 une somme de combinaisons discontiguës, en sorte que 



G(i,rt— 0=H-H,(i,/i— i)-hH,(i,n— i)-t-H3(i,rt— i)+etc. : 



cette somme résultera, si l'on veut, de la précédente G{i,n) 

 où l'on posera r„ = o, c'est-à-dire dont on effacerait tous les 

 termes contenant la dernière lettre /„. On aura, par la sous- 

 traction 



i 



