65o DES ÉQUATIONS LINEAIRES AUX DIFFERENCES FINIES. 



peut s'associer par multiplication avec tous les termes de ia 

 formule 



I 4- H,(i,rt — 2) 4- H,(i,rt — 2) + etc., 



c'est-à-dire que r„ doit être multiplié par G(i,rt — 2). La 

 relation G(i,«) = G(i,« — i)+r„G(i,«^2) est remarquable 

 en elle-même : c'est d'elle que nous tirerons le moyen de 

 former l'intégrale complète de l'équation linéaire aux dif- 

 férences finies du second ordre. 



Si au lieu de combiner les n lettres r, , r, , Tj, . . . r„ pour la 

 formation des H,(i,/?,), H,(i,/i). .., et par suite, pour la 

 composition de G(i,n), on emploie seulement les n — i 

 lettres i\, r^, ... i\ , en écartant la première lettre /■, , la 

 formule précédente prendra cette expression 



(5) G(2,«) = G(2,/« — i) -\- ;-„G(2,rt- 



-2 



G(2,«) représentant ce que devient G(i,«) quand ou y 

 enlève tous les ternies en r, , ce qui revient à poser /, := o 

 dans G(i,rt). 



liOrsque l'on n'emploie que la série r,„, r„^,, ...r„, com- 

 mençant dans l'ordre croissant des indices à r„ , et finissant 

 à /•„, on a semblablement 



(6) G[in,n) = G(^m,n — 1 ) + /•„G(/«,rt — 2) , 



et ici G{m,/i) est la fonction 



G(/«,/i) = i + E.,{m,n)+H,{m,n) + Y]i{r?i,n) . . . + Ui{m,ri) , 



qui est formée avec les sommes H,{m,n),H,{m,/i) ,etc. des 

 produits discontigus donnés par les lettres r„,, r„+, ,.../•„. 

 On retrouverait cette somme G{m,n) en posant r,.-=o, 



