DES ÉQUATIONS LINEAIRES AUX DIFFERENCES FINIES. 667 



des lettres r,,r^,...r„ : la fonction G{i,n) sera remplacée 

 par G(xr,,a:T„), et elle représente alors le polynôme du degré 



G(xr,,xr„):= i + xH,(i„n) + x'H,(i,7i) + . . . -i- x'U,(i,n), 



H,(i,re), H,(i,n), etc., étant encore les fonctions homogènes 

 définies, art. [3], : il n'est pas nécessaire d'y rendre les lettres 

 r apparentes. La même substitution étant faite dans les qua- 

 tre groupes G du second membre de la formule (lo), donne 

 ces valeurs 



G(xr„xr„_,) = i + xïi,(i,m — i) + x' H,(i,m — i) + etc. 

 G{xr„^,,xr„) = i + x H,(m+ i,n) + x" H,(m+ 1 ,n) 4- etc. 

 G{xr^,xr„_^ = i + a; H,(i,m — a) + a;' H,(i,to — 3) + etc. 

 G{xr„^„xrl) = I + a;H,(m+2,n) + x^ H,(m+2,n) + etc. 



On formera le produit des deux premières de ces fonctions G 

 entre elles , et ensuite le produit des deux autres ; et ces 

 produits seront à substituer avec G{xr^, xr^ dans l'équa- 

 tion (10) qui est maintenant 



G{xr,,xr^z= G{xr,,xr„_,) x G(a'r„_^.,a7r„) 

 (11) . + xrS\xr„xr,„_,) X G{xi\+,,xr„) : 



après avoir opéré la substitution, l'on comparera les termes 

 affectés des puissances semblables en x des deux membres : 

 dans le premier, le terme affecté de x^ sera x^ .W.J^i ,n); dans 

 le second membre, les termes en xf se composeront de deux 

 classes distinctes : la première sera donnée par le produit 

 G(rr„a7r„_,) x G(j?r„+,,a;r„) : la partie en x^ sera, d'après les 

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