DES EQUATIONS LINEAIRES AUX DIFFERENCES FINIES. 65g 



Pour exemple , prenons ^=2 , nous aurons 

 H,(i,«)=HXi,m— i)+H.(i,7n— i) H,(to+ i,n)+li,{m+i,n) 



+ r„[H,(l,7?l — 2) + H,(TO + 2,rt.)]. 



Soit encore g"= 3 



H3(i,n)=H3(i,7re— i)+H.(i,m— i)H,(m+i,«)+H,(i,772— i)H,(m + i,«} 



+ r„[H,(i,m — a) + H/i,ot — 2) H,(/?2 + 2,«) + H,(/72 H- 2,ra)]. 



Reprenons l'équation (11), écrite sous la forme suivante 



G(^xr„xr„,xr„)= G(xr„xr„,_,) x G{xr„+,,arr„) 

 + a:r„G(xr„^r„_J x G{x?\+,,xr„), 



afin de manifester la composition en 7\ du premier mem- 

 bre : l'on y changera le signe de la lettre r„ seule, on aura 



G(^xr„~xr„,xr„) = G{xr„xr„_,) x G(xr^+„xr„) 

 — xr^G(xr„xr„_,) x G{xr„+„xr„) ; 



en ajoutant et en retranchant on aura 



G{xr„xr„,xr„) + G(xr„—xr„,xr,;) — 



= 2G(xr,,xr„_,) x G{xr„+„xr„); 

 G(xr„xr^,xr„} — G(xr„—xr„,xr„) — 



= 2xr„G(xr„xr„_,) x G{xr„^„xr„). 



Dans la première de ces égalités, r„ n'entre pas au second 

 membre, et l'on voit que la somme des deux polynômes du 

 premier est décomposable en deux facteurs rationnels de 

 formes déterminées. La différence des mêmes polynômes est 

 aussi décomposable en ■2xr„ et en deux facteurs de formes 

 pareillement déterminées. Ces relations nous semblent devoir 



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