664 DES ÉQUATIONS LINEAIRES AUX DIFFERENCES FIMES. 



ces dénombrements, pour les fonctions homogènes 



H,(i,/0,H,(i,/0, U,{i,n),...ll(i,n). 



Admettons que ces lettres r, ,/■,,... r„ , que nous avons dis- 

 tinguées l'une de l'autre, deviennent toutes de même valeur 

 numérique r: il est évident que H,(i,/i) devient alors 

 h,r = nr\ que H,(i,«) devient h,.rr\ que Hi{i,n) devient 

 /?, . H, et qu'en général pour toute fonction homogène 

 H,(i,/i) = ///■'. Ainsi l'on aura pour la fonction G(i,«) 



G(i,/i) = I + M, + ^V^, + rV«3 + etc. 

 Cette fonction , qui procède suivant les puissances de r, s'ar- 



retera a r/«,, i étant 1 entier compris dans , ou ce 



nombre lui-même quand n sera impair. 

 Les premières valeurs de G(i,n) étaient [3] 



G(i,i)= I +/•,, 



G(i,2)= I + r, + r,, 



G(i ,3) = I + r, + r, + Tj h- r,ri ; 



ainsi, quand les r sont égaux , on a 



G(i,i) = 1 -t- r, G(i,2) = I + 2r; G(i,3)= i + 3r + r\ 



Cela posé, reprenons l'équation (4), où r\=z r, savoir 



G(i,/?) = G(i,/i — i) + rG(i,« — 2) : 

 pour abréger, nous allons écrire ici 



G„=G„_, + rG„_., (16) 



où l'on voit que les G„ forment une suite récurrente. On en 

 retrouvera la fonction génératrice 



T = i + « G. + t'G, + . . . -f- rG„ + etc. , 



