UES ÉQUATIONS LINEAIRES AUX DIFFERENCES FINIES. 68g 



or G(n+î,n)=i, G{n+2,n)=i, (22); on a donc 

 G{n—i,n)=i +r„+ r„_, + s„; ce qui est conforme à la 

 définition de G{m,m+i), donnée ci-dessus. On vérifierait 

 de la même manière la formule (28) pour /« = /?, — 2, ou 

 pour m = n., etc. 



Reprenons maintenant la question générale de reconnaître 

 comment les lettres intermédiaires r„, j„ entrent dans la 

 composition du groupe G{i,n), des combinaisons disconti- 

 guës des deux séries 



''.1 ^? ^3> r^,...r„_,, r„, 7-„^., r„+,,. . .r„, 



Il convient d'abord de remarquer que le produit de deux 

 groupes, G(i,m— /) x G(m,/i) , ne fournit que des combi- 

 naisons disconliguës, pourvu que l soit supérieur ou égal 

 à 2 : on a , en effet , 



G(i,m—l)= I -i-F„_,, 



où F„_, dénote l'ensemble des combinaisons discontiguës des 

 lettres r et s dont les indices ne surpassent pas m — /; on a 

 aussi 



G{m,n) = i H- F„ , 



F„ désignant l'ensemble des combinaisons discontiguës des 

 lettres r dont les indices sont égaux ou supérieurs à m, 

 ainsi que des lettres s dont les indices sont supérieurs à m : le 

 produit de ces groupes est donc 



G{i,m—[) G{m,n)=i + F„_, + F„ + F„_,F„: 



Jes deux premiers termes F„_; + F„ sont composés d'asso- 

 ciations discontiguës; et il en est ainsi de F„_,F„, car un 

 terme discontigu de F„_, multiplié par un terme de h\ ne 



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