DES ÉQUATIONS LINEAIRES AUX DIFFERENCES FINIES. 69 1 



au moins, pour les s. Par les mêmes raisons, le produit 

 G(i,m — 3)s„G(m-^2,n) sera l'ensemble des combinaisons 

 discontiguës de G{i,n) qui renferment la lettre s,„, et 

 G{i, 711 — 2)5-„+,G(/n4-3,«) sera la somme des combinaisons 

 qui ont s,„+, pour facteur; en réunissant les quatre parties, 

 dont G(i,«) se compose, on aura l'équation 



G(i,«)= G(i, m— i)G(w+i, «)+/■„ G(i,w — 2)G(mH-2,«) 

 (24) +sji{i ,m — 3)G(;?i + 2,«)+^„,+,G(i ,w — 2)G(/» + 3,n). 



Cette relation est, pour les groupes provenant de deux séries 

 de lettres, ce qu'était l'équation (lo) pour les groupes plus 

 simples, provenant de la seule série des lettres r, , r,,. . .r„. 

 Il suffit d'y supposer nulles toutes les lettres s pour retrou- 

 ver la formule (lo). Dans cette équation r,,,s„,,s^_^, entrent 

 au premier degré; elle fait voir que si ces lettres deviennent 

 r,„ + p„, s„, + a„, ^„,+, + (7,„_^., , l'accroissement de G(i,«) sera 

 p„G(i ,m — 2)G(to+2, «)+(>„ G(i,w — 3;G(m+2,/i) 

 +(r™+.Gr(i,m — Q.)G{m+3,n). 



Pour obtenir le dénombrement §■„ des termes de G(i,«), 



on posera dans ce groupe r, = r\ = = /■„ = i , 



i\, =^3 =. . . = j„ = 1 ; car alors chaque terme de G(i,«) 

 se trouve remplacé par l'unité. Il en résulte que g„ satisfait 

 à l'équation (20), où l'on remplacera r„ et^„ par l'unité, savoir, 



les premières valeurs de g-„ , g-, , g-, , . . étant 1,2,4,7, 1 3, etc. : 

 par des considérations analogues à celles du n" [8] , et que 

 je développerai ailleurs, j'ai trouvé que g-„peut être exprimé, 

 approximativement, quand n est un peu grand, par la formule 



0"~' a' + 2a + 3' 



