DES EQUATIONS LINEAIRES AUX DIFFERENCES FINIES. 7OI 



ajoutant ces n 4- i formules, et omettant les termes qui se 

 détruisent dans les deux membres, on aura 



J„+, =7» -\-'ko + 'k. H- \, + etc. +'X„_, + X,- 



Multipliez présentement par n„+,(g„+,), et remplacez les X„, 

 5l, , . . .>.„ par leurs valeurs en A„, A„ etc., A„, et vous retrouverez 

 l'expression Y„ de Lagrange. En rapportant ce procédé, 

 nous voulons surtout y faire remarquer la transformation 

 Y„=j"„n„(é„) qui a ramené l'équation proposée à une 

 autre j^^., =j-„ + >^„, dans laquelle l'ancien coefficient ê„ 

 est remplacé par l'unité. Laplace n'a employé cette trans- 

 formation que pour le premier ordre, mais elle est applica- 

 ble à une équation linéaire d'un ordre quelconque, et elle 

 sera, en partie, le principe des méthodes que nous voulons 

 exposer. 



Nous remarquerons sur l'intégrale Y„ et sur les formules 

 qui y conduisent, que les êo , g, , ê, , . . . g„ , les A„ , A, , . . . A„ 

 sont des quantités que l'on peut regarder comme indépen- 

 dantes les unes des autres : il n'est pas du tout nécessaire que 

 les 6, résultent d'une même fonction f{n) = ê„, où n aurait 

 été remplacé par o, i, 2,. . . Les combinaisons purement al- 

 gébriques qui conduisent au résultat sont totalement étran- 

 gères à cette hypothèse, et le véritable caractère de la for- 

 mule (Sa) est celui d'une équation finale provenant de 

 l'élimination des inconnues Y„_, , Y„_. ,. . .Y, , Y., ainsi que 

 nous l'avons déjà énoncé au commencement de cet écrit. , 



La marche qui vient d'être suivie suppose que n est un 

 entier positif, et que la grandeur Y„ , qui reste arbitraire dans 

 l'intégrale, soit le premier terme de la série Y^, Y,, Y,,... Y,. 

 Ce premier terme, au reste, pourrait répondre à des valeurs 



