70S DES ÉQUATIONS LINEAIRES AUX DIFFERENCES FINIES. 



est la formule 



u^ = ufi{p.,n — 2) + r,M,G(3,/t — 2). 

 Cette équation est évidemment donnée par la formule (40 

 oii l'on marquerait chaque lettre d'un accent de jjIus, en 

 sorte que r„ y soit changé en r, ; r, en /■, , etc.; w„ en w,; u, en 

 w, ; il faudrait après cela remplacer a? par n — 1. 



Si l'on ne commence à combiner les formules (4o') qu'à 

 partir de la m'*'"' équation. ?<„+, := m„ + >'„_,//„_, , on aura 

 pour la valeur de u„ 



(42) u„ = ii„G[m,n — 2) + w„,_,;'„_,G(m+ i,« — 2) : 

 c'est encore l'intégrale de l'étjuation linéaire du second 

 ordre m„^, = «„+, + "„'"„ • 



La formation de cette équation (42) a exigé que «>w : 

 néanmoins elle peut être étendue à n ^m. Le second mem- 

 bre devient alors u„G{m,m — 2) +w„_,r,„_,G(/«+ i,w — 2); or, 

 il a été établi, [art. 4] > fiut; G{m,m — 2)=!; on a aussi 

 G{ni,m — 3)=: o, d'où G{m+i,ni — 2):^o; on voit donc que 

 la valeur du second membre se réduit à u„ pour n = m. 



Quand on y pose n^:^ni — i, on a 



M,„G(w,«z— 3) H- M„_,r,„_,G(/?«+ I ,/« — 3) ; 

 mais le premier terme est nul et il ne reste ici que 



M,„_,/-™-,G(w4-i,//«— 3). 

 Le symbole G[m-\-\,in — 3) n'ayant pas encore reçu de déter- 

 mination, il faut, comme dans l'art. [4]? recourir à l'équa- 

 tion (()), où l'on mettra m + i à la place de m , et où l'on 

 posera n:=/fi — i ; cela donne 



G{in + i ,/H — i ) ^ tJ(/// + I ,/« — 2) + /•„,_,( ][/)). -\- 1 ,m — 3) : 



mais l'on a G{m+ i,i7i—\)=i, G[ni+ i,m — 2)^0; on a donc 

 I =/■„,_, G(/?i+i,//i — 3); ce qui réduit u,„_,i\_,G[in+ \,m — 3) 



