DES ÉQUATIONS LINEAIRES AUX DIFFÉRENCES FINIES. 7/17 



Une autre relation analogue à la précédente sera fournie 

 par des combinaisons déduites de l'équation (ai) rapportée 

 à trois valeurs m, m', m", de in\ ce qui donne les trois 

 égalités 



G(m ,«) = G(m ,«— i) + r„G{m ,n — 2.) + s„G{m ,n—3), 

 G{m' ,?i)=G{m' ,«— i) + r„G{m' ,n— 2) + s„G{m' ,/i— 3), 

 G{in",n) = G{m",n—i)+ r„G{in",n — a) + sjG{m",n — 3); 



nous les multiplierons respectivement par les fonctions 



G{ni ,n — i)G(ni",n — a) — G{m",n. — i)G(m' ,n — 2), 

 G{m",n — i)G{m ,n — 2) — G(m ,n—i]G{m",ji — 2), 

 G (m ,n — i)G(m' ,n — 2) — G(/».' ,n — i)G(m ,n — a), 



et après les avoir ajoutées, il ne restera au second membre 

 que les termes affectés de s„ : le premier membre sera repré- 

 senté par P,(/i); en sorte que 



P.(«) = G(m ,n)[G{m' ,n— i)G(/7z'>— 2) — G(/??",n — i)G{m' ,n — 2)] 

 + G{m' ,ri:[G{m" ,n — i)G(m ,n — 2) — G{m ,n — i)G(m'>— 2)] 

 + G{?n" ,;i)[G[m ,n—i)G{m\n — 2) — G{m' ,n — i)G{m ,« — 2)] : 



il suffira d'écrire le second membre pour reconnaître qu'il 

 peut être représenté par s^,{n — i), la fonction P,(« — i) 

 étant ce que devient P,(«) quand on y remplace n par n — i , 

 en laissant les lettres m telles qu'elles sont dans P,(n); on 

 aura donc cette équation 



P.(/i) = ^„P.(«— i). 



Supposons que m et m" sont des entiers inférieurs à m: 

 nous remplacerons successivement n, dans l'équation en 

 P,(«), par « — i,n — 2,... jusqu'à m — i, et en multipliant 

 par ordre les formules , nous enlèverons le facteur commun 



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