4 DE I.A RECTIFICATION DES COURBES 



questions diverses, ainsi que dans la géométrie pratique. Je 

 vais énoncer, en peu de mots, ceux qui me paraissent les 

 plus dignes d'être remarqués. 



Premier théorème, p désignant l'angle polaire que forme 

 une droite OO', tracée à volonté dans un plan OO'O", avec- 

 un axe fixe, S le système d'une ou de plusieurs longueurs me- 

 surées sur une ou plusieurs lignes droites ou courbes, fermées 

 ou non fermées, A la somme des projections absolues des 

 divers éléments de S sur la droite OO', et % le rapport de 

 la circonférence au diamètre, on aura 



(>) S =\jl Jd P- 



Démonstration. On démontre ce théorème en considérant 

 d'abord le cas où l'on remplacerait les quantités S, A par 

 une longueur rectiligne s, et par la projection a de cette 

 longueur sur la droite OO , puis en décomposant, dans le 

 cas contraire, les longueurs S, A en éléments infiniment 

 petits et correspondants. 



Corollaire. Lorsque S représente une longueur rectiligne, 

 la quantité A se réduit à la projection absolue de cette 

 longueur sur la droite OO'. Lorsque .S" représente une courbe 

 fermée et convexe, en sorte qu'elle ne puisse être coupée 

 par une droite en plus de deux points, A se réduit au 

 double de la projection de cette courbe sur OO'. 



Exemples. Si S représente la circonférence d'un cercle 

 décrit avec le rayon R, A sera évidemment le double du 

 diamètre. On aura donc A = \R, et la formule (i) donnera 



S = F Rdp = 27:/?. 



Si S représente le périmètre de l'ellipse dont les demi- 



