8 DE LA RECTIFICATION DES COURBES 



où la quantité S se réduit à une longueur rectiligne s, il 

 suffira, pour le démontrer dans le cas contraire, de décom- 

 poser S en éléments infiniment petits. 



Corollaire premier. La valeur approchée de S étant cal- 

 culée à l'aide de la formule (2), l'erreur commise ne dépas- 

 sera pas la neuvième partie de cette valeur, si l'on prend 

 n = 3, la vingt-cinquième partie, si l'on prend n = 5, et la 

 centième partie si l'on prend n = 10. Dans le premier et le 

 second cas, M sera la moyenne arithmétique entre les 

 sommes des projections des éléments de S sur trois ou 

 cinq droites respectivement parallèles aux côtés d'un hexa- 

 gone ou d'un décagone régulier. 



Exemple. Si la longueur S est égale et parallèle à l'un 



des côtés d'un hexagone régulier, on trouvera M = | S, et 

 par suite 



Or, la différence entre le nombre 1,047... et l'unité est 



effectivement inférieure à -• 



9 



Corollaire II. Si le nombre n devient infini, on aura 

 évidemment 



P Adp . 



et la formule (2) se réduira, comme on devait s'y attendre, 

 à la formule (1). 



On déduit immédiatement du théorème 2 un troisième 

 théorème, qu'on peut énoncer comme il suit : 



