DE UÂ QUADRATURE DES SURFACES COURBES. 9 



Troisième théorème. Si, dans l'intérieur d'un cercle décrit 

 avec le rayon R, on trace une ou plusieurs courbes fer- 

 mées, et si le système de ces courbes ne peut être traversé 

 par une même droite en pins de im points, la somme des 

 contours ou périmètres de ces courbes ne dépassera pas le 

 produit de la circonférence 2kR par le nombre m. 



Démonstration. En effet, dans l'hypothèse admise, on aura 

 évidemment, quel que soit p, 



A < im . iR , 



et par suite la formule (2) donnera 



(7) S < m . 7,-kR. 



Corollaire. Si S se réduit au périmètre d'une courbe 

 convexe, on aura, m = 1 , 



(8) S < z-kR. 



Des théorèmes, analogues à ceux qui précèdent, peuvent 

 être appliqués à la quadrature des surfaces courbes et 

 démontrés de la même manière. Nous nous contenterons 

 d'énoncer ici l'un d'entre eux, duquel tous les antres se dé- 

 duisent facilement. 



Quatrième tliéorème. p désignant l'angle formé par une 

 droite quelconque 00' avec un axe fixe OP, q l'angle 

 formé par le plan des droites OP, OO' avec un plan fixe 

 qui renferme la première, S le système d'une ou de plu- 

 sieurs surfaces planes ou courbes, et A la somme des pro- 

 jections absolues des divers éléments de S sur un plan 

 HIK perpendiculaire à la droite OO', on aura 



(9) s - hS-Jl A sin p d P d i- 



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