4(1 DU CALCUL INTEGRAL. 



La fonction génératrice étant donnée, la fonction f(x) s'en 

 déduit, niais seulement pour des valeurs entières de x. La 

 connaissance de la fonction génératrice ne suffit pas pour 



déterminer /'(**)» /"(*)■> etc "- 



A la vérité, en partant de l'équation 



(3) %=v-iw+lfy : -- : 



dans laquelle a/== A/fa?) =/(#'+ i)—f(&), et observant 

 que A*) a pour fonction génératrice uf ij , on trou- 

 verait 



(4) «i(i + i-i) = iil(0, 



dy 



pour fonction génératrice de — ==/"(«). Mais la formule (i). 



qui est exacte pour des fonctions entières, cesse de l'être 

 pour des fonctions quelconques. Le second membre ne varie 

 pas quand on y fait croître y d'une fonction périodique 

 de x, tandis que le premier membre change alors de va- 

 leur. Si l'on fait par exemple 



y = sin (2tt^), 



cette équation donnera 



cos (aux) = o, 



quel que soit x, ce cjui est absurde. On ne voit pas, d'ail- 

 leurs, comment le développement de // 1 (t) suivant les puis- 

 sances ascendantes de t pourrait s'effectuer. 



Une autre difficulté que présente le calcul des fonctions 

 génératrices, consiste en ce que l'on regarde 



(5) j=Ï£+jr, +y,t + ...+y x+I e* + ... 



