1>U CALCUL INTÉGRAL. [\l 



comme fonction génératrice de y x+l , tandis qu'en rempla- 

 çant dans la série (i) 



y„ par y,, y, par y,... et généralement y x par j I+I , 



on trouverait simplement 



(6) J, + JTJ + ...+. r*+it r 



pour fonction génératrice de j I+I . On ne peut lever cette 

 difficulté qu'en admettant, pour chaque valeur de f(x), une 

 infinité de fonctions génératrices, telles que 



y„ + y t t -h y,r -h . . . + y x t* . . . 



r^ +yo+.y,t+yJ' + ... + y x t x . . . 



r-> r-« + r» + rJ +yJ 2 + ■•■ + r*** + etc - • • 

 f < 



ou même, en prenant pour fonction génératrice, ainsi qu'on 

 l'a proposé, la somme de la série 



(7) y_ œ t-°>+...+y_ l t- +yj°+y,f +y,t'... + y x *-... 



Cette dernière série devra nécessairement être employée si 

 l'on veut que la fonction génératrice de y_ x soit représentée 

 par ut x . Or, il arrive malheureusement que la série (7) est 

 généralement divergente et n'a pas de somme. 



Quant aux résultats déduits du calcul des fonctions géné- 

 ratrices, à l'égard des équations linéaires aux différences finies 

 ou infiniment petites, on peut les établir directement, comme 

 nous le ferons dans les paragraphes qui suivent. 



T. XXII. 



