DU CALCUL INTÉGRAL. 87 



les fonctions arbitraires se trouveront alors déterminées 

 par les équations (19) du paragraphe précédent; et ne 

 pourront l'être que d'une seule manière, si les conditions (5) 

 exigent seulement que l'on ait, pour t = t , 



(6) u= Ax , f ..),^=f, (x ,j...),... ^ =/m _ i(a , 7 .. . 



Toutefois, cette dernière conclusion suppose que 



(7) Ax,y-),A*,x-),- ./;„_,(*,/...), 



sont connues pour toutes les valeurs possibles de x,y,... Or, 

 il peut arriver, comme dans le problème des cordes vi- 

 brantes, que les fonctions (6) soient données à priori seu- 

 lement pour certaines valeurs de x,y,z... comprises entre 

 certaines limites, et doivent être prolongées hors de ces li- 

 mites, à l'aide de nouvelles conditions. Par exemple, dans 

 le cas où œ,jr, z... représentent des coordonnées, il peut 

 arriver que des fonctions de la forme 



soient connues pour tous les points compris dans une lon- 

 gueur, dans une surface, ou dans un volume donné. Alors 

 on pourra représenter la variable principale par des sommes 

 d'exponentielles, respectivement multipliées par des cons- 

 tantes arbitraires, et il ne restera plus qu'à déterminer ces 

 constantes de manière qu'entre les limites données les fonc- 

 tions (6) prennent les valeurs qu'elles doivent avoir. C'est 

 ce qui arrivera, par exemple, dans le problème des cordes 

 vibrantes, si l'on fixe la valeur de z par le moyen de l'é- 

 quation (90) du cinquième paragraphe. Mais on pourrait 

 aussi résoudre les questions proposées en exprimant la va- 

 riable principale à l'aide des fonctions initiales, sauf à pro- 



