98 DU CALCUL INTÉGRAL. 



et celle de P, qui est toujours censée positive, par la for- 

 mule 



(4a) P = ± [F„(.z') — f;,(*)] [F,(x, y) — f,(*,r)] etc.. 



Nota. Les formules (36) et (4o) peuvent être démontrées 

 par la méthode qui a servi à établir les formules du même 

 genre que j'ai données dans le dix-neuvième cahier du Jour- 

 nal de l'École polytechnique. 



Ajoutons que la formule (4o) subsistera encore, si l'on 

 remplace 



f„(.r), F„(x), f,(.r,.r), etc.. f„(M), etc.. 



par 



ï„(x,y,z...), b\(x,y,z...), t\(x,y,z...), etc.. f (M,N...), etc.. 



Faisons voir maintenant comment, à l'aide de certaines 

 conditions données, on peut prolonger une fonction hors 

 des limites entre lesquelles sa valeur était connue. 



Premier problème. Intégrer l'équation 

 ,,0, d*z d' z , .... 



de manière que l'on ait 



( — = 

 pour t = o, ) dt 



Supposons d'ailleurs la fonction initiale f(x\ connue seu- 

 lement entre les limites o, a. Mais ajoutons la condition 

 que l'on ait 



pour .1=0, ) , 



z = o, quel que soit t. 



et pour x = a, ) 



Solution. On trouvera 



