l()4 CALCUL INTÉGRAL. 



Premier théorème.. Soient 

 (i) Z = a + bz -f- cz' -+- . . . + gz"-' 4- hz" 



une fonction entière de la variable z = r p , et 



a, b, c,. . g, h 

 les modules des coefficients 



à, b, c, . . . g-, h. 

 Supposons d'ailleurs que, les coefficients a , b n'étant pas 

 nuls, on nomme o*, la racine de l'équation binôme 

 (2) a + bz = o, 



et t la valeur de r pour laquelle le produit 



; /(b— cr — ... — gr"- a — br"-') 



devient un maximum, ou, ce qui revient au même, la racine 

 positive unique de l'équation 



(4) l> — 2Cr — . . . — (n — i)gr"~ 2 — nhr"— ' = o. 

 Pour rendre le module de la fonction Z inférieur au 

 module de son premier terme a, il suffira de réduire ce mo- 

 dule z à la plus petite des deux valeurs qu'il obtient quand 

 on pose successivement : 



Démonstration. Lorsque, l'argument de r. étant égal à x6, 

 le module de z est égal ou inférieur à p, le module du bi- 

 nôme o + bz se réduit à la différence 



a — b/'; 

 par conséquent le module de Z ne surpasse pas la somme 



(5) a — br -+■ cr' -+- . . . -+- gr"- ' 4- hr". 



D'autre part le produit (3), qui croîtra en passant d'une 

 valeur nulle à sa valeur maximum, tandis que r croîtra de- 

 puis zéro jusqu'à »•, sera toujours positif dans cet intervalle. 

 Donc pour r = ou < *, on aura 



(6) cr' -+- . . . + gr"-' + hr" > br. 



