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Or, il résulte immédiatement de cette dernière formule 

 que, si l'on réduit le module r au plus petit des deux nom- 

 bres p. v, la somme (5), et à plus forte raison le module R de 

 Z, offriront des valeurs inférieuresau module a. Donc le plus 

 petit des modules de Z, correspondants aux valeurs Pra , *•„ 

 de z, sera certainement inférieur au module a. 



Corollaire. Il est bon d'observer que, si l'on considère le 

 produit (3) comme fonction de r~ ce produit, qui croît tou- 

 jours avec r quand on fait varier r entre les limites o, i , of- 

 frira dans cet intervalle une dérivée toujours positive. Donc, 

 pour r •< *, on aura toujours 



b — acr — . . . — (n — i)g/-"- r — nhr"" > o, 

 ou, ce qui revient au même , 



br — 2c;- ! — . . . — ( n — fygi'»-' — nhr" > o; 

 puis on en conclura 



( 7 ) b/'-tv 2 — ...—gr-—— hr*>cr' + . .. + {11- a)g/-"-' + («— i)h/-». 

 Or, en vertu de cette dernière formule , qui entraîne évi- 

 demment avec elle la condition (6); le module a surpassera la 

 somme (5) d'une quantité supérieure au nombre a déterminé 

 par la formule 



(8) a = c/- 2 + . . . + («—a) g/"— 1 + («— i)hr\ 



Donc par suite le module R de Z deviendra inférieur à la 

 différence a — a , si l'on pose z = r~ en prenant pour r le 

 plus petit des deux nombres, p , i; et à plus forte raison si 

 l'on réduit le module R h h plus petite des deux valeurs 

 qu'il acquiert quand on pose successivement z = Pra , ; = ;„. 

 Ajoutons que le nombre a ne s'évanouira jamais , si ce 

 n'est dans le cas particulier où, les coefficients c, ...g, h, s'é- 

 vanouissant tous simultanément, le polynôme Z se trouverait 

 réduit au binôme a + bz. D'ailleurs dans ce cas particulier 



