NOTES. 167 



Démonstration. Lorsque l'argument de z étant égal à vi, 

 le module de z est égal ou inférieur à p , le module du bi- 

 nôme a+bz 1 se réduit à la différence 



a — br l ; 

 par conséquent le module de Z ne surpasse pas la somme 

 (i3) a - br l + cr m +...+ hr". 



D'autre part, le produit (n), qui croîtra en passant d'une 

 valeur nulle à sa valeur maximum , tandis que r croîtra de- 

 puis zéro jusqu'à »', sera toujours positif dans cet inter- 

 valle. Donc, pour r = ou<», on aura 

 (ï4) cr m +...+ hr" < br l . 



Or il résulte immédiatement de cette dernière formule, que, 

 si l'on réduit le module r au plus petit des deux nombres p, 

 x.,lasomme(i3), et à plus forte raison le module deZ, offri- 

 ront des valeurs inférieures au module a. Donc le plus petit 

 des modules de Z correspondants aux valeurs p ra , % de z, 

 sera certainement inférieur au module a. 



Corollaire. Il est bon d'observer que, si l'on considère le 

 produit (1 1) comme une fonction de r ce produit, qui croit 

 toujours avec r quand on fait varier r entre les limites o, 

 v, offrira dans cet intervalle une dérivée toujours positive. 

 Donc, pour/-<fc, on aura toujours 

 (i5) Ibr 1 - 1 — mer" 1 - 1 — ... — nbr"-' > o, 



ou, ce qui revient au même, 



Ibr 1 — mer"' — ... — nhr" > o ; 

 puis on en conclura 



(16) br'_cr m -...-hr">(™-i)cr'"+... + (i i -i)hr". 

 Or, en vertu de cette dernière formule, qui entraîne évidem- 

 ment avec elle la condition (i4) , le module a surpassera la 



