1 74 CALCUL INTÉGRAL. 



de quantités géométriques, spécialement celles que fournissent l'addition 

 ou la soustraction de ces quantités, leur multiplication ou leur division, 

 et leur élévation à des puissances entières. La formation des séries con- 

 vergentes dont les termes généraux renfermeraient une ou plusieurs quanti- 

 tés géométriques variables, fournira de nouvelles fonctions de ces quanti- 

 tés, et parmi ces fonctions on devra distinguer les sommes de séries 

 convergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes d'une seule 

 variable z. 



Considérons en particulier la série 



Z 2' 



I , -, , • • • 



I 1.2 



qui a pour ternie général , et qui ne cesse jamais d'être conver- 

 gente. La somme de cette série sera représentée , si z est algébrique , par 

 l'exponentielle de e', en sorte qu'on aura dans ce cas 



z z' 

 (i) e'=H 1 h etc.. . , 



I 1.2 



e étant la base des logarithmes hyberboliques ou népériens. D'ailleurs^ pour 

 que la formule (i) s'étende à tous les cas possibles , il suffira de concevoir 

 que l'on se serve de cette formule, lors même que la variable z est une 

 quantité géométrique, pour définir V exponentielle e'. 

 Ajoutons que, si l'on pose 



(2) a=e\ 



x désignant une quantité algébrique quelconque, on pourra supposer {'ex- 

 ponentielle a' généralement définie par la formule 



(3) a'=é". 



Ces conventions étant admises, on prouvera aisément que les proprié- 

 tés connues des exponentielles subsistent pour des exposants quelconques, 

 înême quand ces exposants sont des quantités géométriques. D'ailleurs, les 

 exponentielles e' a' étant définies par les formules (1) et (2), leur définition 

 entraînera celle des logarithmes pris dans le système qui a pour base le 

 nombre e ou a , c'est-à-dire des exposants qu'il faut attribuer à cette base, 

 pour obtenir des quantités géométriques données. 



Si, dans la formule (1), on réduit à zéro la partie algébrique de z; si 

 l'on pose, par exemple, z = 'xp, p étant un angle quelconque, alors, en 



