176 CALCUL INTÉGRAL. 



Désignons maintenant par f (z) la valeur de Z exprimée en fonction 

 de z. Si l'on attribue à z un accroissement infiniment petit Az, l'accroisse- 

 ment correspondant 



AZ = f(z+ Az)— f(z) 



de la fonction f(z) supposée continue sera lui-même infiniment petit. 



Mais le rapport 



AZ_ f(z + Az)-f(z ) 



{I > Az — Az 



conservera généralement une valeur finie. Si d'ailleurs on fait converger 

 Ai vers la limite zéro, il arrivera souvent que le rapport (1) convergera 

 vers une limite unique et finie. Cette limite, que l'on nomme la dérivée de 

 la fonction Z, s'indique à l'aide de la notation Z' ou f (z), ou bien encore 

 à l'aide de la notation D Z Z ou Z)-f(z). Si, tandis que Az s'approche de 



zéro, le rapport — — ne s'approchait pas indéfiniment dune limite uni- 



Az 



que et finie, la dérivée Z' ou f'(z) devrait être censée acquérir une valeur 

 infinie ou multiple ou indéterminée, savoir, une valeur infinie, si le mo- 

 dule du rapport- — croissait indéfiniment; une valeur multiple ou indé- 

 terminée, dans le cas contraire. 



Les différentielles dz, dZ de la variable z et de la fonction Z ne sont 

 autre chose que des quantités géométriques dont le rapport est précisé- 

 ment la limite du rapport entre les accroissements infiniment petits Az, 

 AZ. En conséquence, dZ est liée à dz par la formule 



(2) ^ = D.Z ou dZ — D : Zdz, 



v ' dz 



dans laquelle la différentielle dz de la variable indépendante z reste arbi- 

 traire. 



En général, les différentielles de plusieurs quantités géométriques ne 

 sont autre chose que de nouvelles quantités géométriques, dont les rap- 

 ports se réduisent aux limites des rapports entre les accroissements infi- 

 niment petits des premières. 



