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cinquième note. Sur les relations qui existent entre les résidus des 

 fonctions et les intégrales définies. 



Les équations (ai), (a3), (24) et (25) du § 2 sont du nombre de celles 

 qu'on obtient en cherchant les relations qui existent entre les résidus des 

 fonctions et les intégrales définies. Ces équations, qui prennent une forme 

 très-simple quand on fait usage du signe £, coïncident avec quelques-unes 

 de celles que contient le premier volume des Exercices de Mathématiques, 

 et sont toutes comprises dans une formule générale que renferme le Mé- 

 moire lithographie à Turin en i83i. Dans cette formule, qui se réduit à 



(,) J o C f(z)D s zds = ^iC(f(z)), 



z peut être censé représenter une quantité géométrique variable r r , me- 

 surée à partir du pôle O jusqu'à un point mobile A , .s l'arc mesuré sur 

 une courbe fermée LMN, entre une origine fixe C et le point mobile A, 

 et c le périmètre entier de la courbe. On suppose d'ailleurs l'arc s mesuré 

 dans un sens tel, que, cet arc venant à croître, son extrémité A ait autour 

 d'un point fixe très-voisin, et situé à l'intérieur du contour LMN , un mou- 

 vement de rotation direct, c'est-à-dire, pareil au mouvement de rotation 

 qu indiquerait, pour le rayon mobile OA , une valeur croissante de l'angle 

 polaire p. Enfin , on suppose que , pour toutes les valeurs de z auxquelles 

 correspondent des points situés à l'intérieur de la courbe LMN, la fonc- 

 tion f{z) et sa dérivée restent continues, quand elles ne deviennent pas 

 infinies , et que, dans ce dernier cas , on peut trouver une puissance entière 

 de \z, qui, multipliée par/^-z-r-Az.) , fournisse pour produit une fonction 

 de A; qui reste continue avec sa dérivée. Ajoutons que, dans le second 

 membre de la formule (1), le résidu intégral indiqué par le signe C s'étend 

 seulement à celles des racines de l'équation 



(3) /fe = °' 



auxquelles correspondent des points situés à l'intérieur du contour LMN. 



Il est bon d'observer que la formule (1) s'étend au cas même où à la 



courbe LMN on substituerait un contour fermé quelconque, par exemple, 



le contour d'un polygone dont les côtés seraient rectilignes ou curvi- 



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