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DIFFÉRENTIELLES. %3 



représentera, non-seulement ce que nous appelons une in- 

 tégrale élémentaire de l'équation (3), mais encore une in- 

 tégrale approchée de l'équation (i). 



Si maintenant on veut obtenir, non plus une intégrale ap- 

 prochée, mais une intégrale exacte de l'équation (i), on 

 pourra supposer la fonction S développée aussi bien que 

 la fonction K en une série ordonnée suivant les puis- 

 sances ascendantes et descendantes de l'exponentielle e" xi . 

 Faisons, en conséquence, 



(6) a = s„ + s',<?<"' + b ! e 2axi + . . . 



+ N_ I e-" i + N_ 2 e- 2a;r ' + . . • 

 L'équation (i) sera vérifiée si, après y avoir substitué les 

 valeurs de K et », tirées des formules (2) et (6), on égale 

 entre eux les coefficients des puissances semblables de l'ex- 

 ponentielle e a:ci , renfermés dans les deux membres. On 

 obtiendra ainsi les équations auxiliaires 



f (D, — Â-JXK = *_ , (D, + ai)», + ... + A-, (D r -al)S_,-l- 



i [D, — Ht. (D x + a i)] Ai, = h ■_ , (D x + aai) », + • • • + k D x »„ + 



) etc.. 



[D, — A- (D,-«i)]»_ I = *_,D^ +...+A I (D,— 2«i)»_, 



\ etc. . . 



Or, ces équations, toutes linéaires et à coefficients constants, 

 seront vérifiées, si l'on suppose les inconnues 



»o» »,) &J • • • »'— I> ^—2) • • • 



toutes proportionnelles à «ne seule exponentielle caractéris- 

 tique de la forme 



e 



ux 



+ st 



1 



en sorte qu'on ait 



(8) tf = ^ e"*+", » J = ^,e " + ",..• «_,== .=/_,e" jr+i ',.. 

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