63o SUR LES SYSTÈMES ISOTROPES 



! a =cos<p, ë = sin <p cos /, Y=sinçsin^, 



a':=sin<pCOSi];, 6'= — SUlySin^ — COSipCOS^COSiJ/, y'= COS y sill t]/— COSipsill/COSi}', 

 I a "=SÏn<psin ^, é"= sin^ COS<\i — COSipCOSjf sin<j;,y"= — COSyCOSi)/ — COStpsilly sintj/. 



Donc , la formule (6) ou (5) devra se transformer en une 

 équation identique , lorsqu'en prenant pour f (x, y, z), ou 

 pour f (x,y, z, x,y t , z /V ..) une fonction isotrope, on suppo- 

 sera les coefficients a, é, y, a', 6*, y', a", 6", y" déterminés par 

 les équations (7). Par conséquent, l'équation (6) deviendra 

 identique, lorsqu'on réduira i(x,y,z) à la fonction isotrope 

 x' +y* + z 2 . On aura donc identiquement, quels que soient 

 d'ailleurs x,y,z, 



(8) («x + êy + yz) 2 -t- («ai + è'y + y'z)' + (*'x + ê"y 4- y"z)' = x' + y + z', 



et, par suite, 



a -4-a +a =•, ° + o +6 = I, y -f-y + y = I, 



/O , fi' ' t fi n " ' ' . " " fi 'fi' "fi" 



by + b y +6 y =0, ya+y a +y a =0, ab + a b +a b =0. 



Pareillement, l'équation (5) deviendra identique, lorsqu'on 

 prendra pour f(x,y,z, x t ,y,, à, x^,y ti , zj la fonction iso- 

 trope 



${±xyz i ) = xyz i —xy n z i + x i y i z — x i yz u -^x u yz i —x ii yz. 

 On aura donc identiquement , quels que soient d'ailleurs 

 x i y-, z, x t ,y : , z t , x it ,y n , z ti , 

 ( i o) S[± («a + Gjr + yz) («'*, -f- ë>-, + y'z ) («'> y + 6>, + Y "z, )] = S(± aj, z J , 

 et par suite, 



(n) S(çbae' y ")=r, 



ou, ce qui revient au même, 



(la) aë y" — aê' y' -f- a'é"y — a'ëy" -f- a"éy' — a"é'y = 1 . 



Il est, au reste, facile de s'assurer que les valeurs de a, ë, y; 



