Wellenformeln XI und XII. n 



bei den freien Wellen oder Dünungen auf Vso bis Vioo ^^d weniger ab- 

 nehmen, woraus sieb für v eine Geschwindigkeit zwischen 0.63 c und 0.31 c 

 bei Windwellen, und 0.21 c bis 0.06 c und weniger bei Dünungen ergibt, 

 so daß also c mindestens 1 V2^al größer ist als v und bei Dünungen bis zum 

 100- bis 200fachen ansteigen kann. 



Die Orbitalgeschwindigkeit nimmt ebenfalls mit der Tiefe ab und zwar 

 nach einer Exponentialformel : 



V = ce~ "T oder = c e ~" r" XI 



also auch in einer geometrischen Progression im gleichen Sinne wie p nach 

 Formel I. Hieraus folgt dann auch, daß innerhalb einer gegebenen Welle 

 sich für gleiche Tiefen {z : X) verhalten ^j:h =^ v : c. 



Für unsere spätere Untersuchung ist es von Wichtigkeit, auch die 

 totale Energie der AVelle zu bestimmen. Diese setzt sich zusammen 

 je zur Hälfte aus der kinetischen Energie,. die in der Orbitalbewegung 

 der Wasserteilchen enthalten ist, und aus der potentiellen Energie, die 

 durch die Erhebung des Massenschwerpunkts der Welle über seiner Ruhe- 

 lage, wo keine Wellenbewegung vorhanden ist, bestimmt wird. 



Für die totale Energie aller Teilchen von der Oberfläche abwärts 

 bis zu einer Tiefe, wo p verschwindet, ergibt sich der Ausdruck i): 



«-T — ['-^ fr] ''n 



worin m das Gewicht eines Kubikmeters Wasser bedeutet, wenn X und H 

 in Meter angegeben werden; man erhält dann E in Meterkilogramm, oder 

 nach Division durch 75 in Pferdekräften. Für die größten Werte von H/X, 

 die in der Natur vorkommen (Vio)» wird der Ausdruck in der Klammer 

 0.951, ist also in der Regel unbedeutend; bei Verhältnissen von weniger 

 als V25 kann er gänzlich vernachlässigt werden; er wird dann größer als 

 0.992. Die Energie ist gleich der Arbeit, die erforderlich wäre, um eine 

 Wasserschicht von der Dicke V2 H um die Höhe V4 H zu heben. 



Weiterhin gilt für die Verteilung der Energie nach der Tiefe hin, die 

 Formel : 



E'=-^[{;^'~h*)-^{:.^-h^)'^ . . . Xlla 



womit man die totale Energie von der Oberfläche bis zu einer beliebigen 

 Tiefe erhält, für welche p bekannt ist; die Werte für p ergibt Formel I 

 (oder die Tabelle auf S. 10). Für die Berechnung der Energie ist 

 also stets die Kenntnis der Wellenlänge und Wellenhöhe {H = 2 h) er- 

 forderlich. 



') Die Formeln sind hier in der für die Rechnung bequemen Form nach G a i 1- 

 lard gegeben; siehe dessen Wave action p. 39 und 135, wo sich auch eine elemen- 

 tare Ableitung findet. Vgl. auch L a m b, Lehrb. der Hydrodynamik, Leipzig 1907, 

 S. 433, und Boussinesq in Comptes Rendus Acad. Paris 1905, Bd. 121, p. 16. 



G. Hagen hat den Ausdruck E = c^p^rc = -q gH^ X für die Oberfläche. 



