Formeln von Boussinesq und Hagen. 



19 



in den einzelnen übereinanderliegenden Schicliten variabeln Quotienten 

 ß : a vermeidet. Führt man die Bedingung ein, daß f :zc ein sehr kleiner 

 Bruch sei, was also sowohl bei großer Wellenlänge (zc = X), wie bei großer 

 Wellenperiode z der Fall ist, so wird der in der Formel XXI eingeklam- 

 merte Faktor nahezu gleich 1, und wir erhalten die Lagrangesche Formel XVI. 

 Besteht hingegen die Bedingung, daß z eine kleine Größe (also etwa der 

 Bruchteil einer Sekunde) ist, so daß also der Quotient p : t ^ = 7 oder 

 <; 1 wird, so ergibt sich aus XX für c die Formel VII : 



also ein Abhängigkeitsverhältnis zwischen c und t wie bei unendlicher 

 Wassertiefe. Nirgends erscheint bei Boussinesq die Annahme, daß die 

 Wellen hierbei unendlich klein sein müssen, wie bei Airy, und so ergibt 

 sich denn auch weiterhin, daß die Geschwindigkeit c in allen Wasser- 

 schichten dieselbe ist: die Wellen schreiten vertikal stehend durch das 

 Wasser. Die Orbitalgeschwindigkeiten hat Boussinesq nicht besonders 

 untersucht; über die elliptischen Bahnen selbst sagt er, daß die vertikalen 

 Halbachsen immer kleiner sind als die horizontalen, dabei alle Ellipsen 

 (wie bei Airy) die gleiche absolute Exzentrizität haben. Am Boden ist 

 die vertikale Halbachse [j = 0; sie wird größer, je mehr man vom Boden 

 sich erhebt, und wird an der Oberfläche nahezu = a, sobald der Quotient 

 ß : T 2 klein bleibt, also kleiner als 1 (oder höchstens gleich 1) wird. 



Die horizontale Halbachse ist ebenfalls wie bei Airy am Boden gleich 

 dem Abstand der beiden Brennpunkte der Ellipsen, und wächst gleichfalls 

 mit der Annäherung an die Oberfläche. Das Verhältnis ß : a in ver- 

 schiedenrn Tiefenschichten wird bei Boussinesq durch folgende einfache 

 Tabelle charakterisiert, deren Argimaent das Verhältnis p : zc {=^ p :X) ist. 



'Hagen war der Überzeugung, daß, wenn die Annahme Airys zu- 

 grunde gelegt wird, daß die Wasserteilchen an der Oberfläche in elliptischen 

 Bahnen kreisen, man immer wieder zu der weiteren Annahme geführt 

 würde, daß die Wellenhöhen unendlich klein seien. Er schlug nun nicht, 

 wie Boussinesq, einen anderen Gang der Untersuchung ein, sondern ver- 

 änderte die Gleichung- der EiKpse so, daß sowohl die obere als auch die 

 untere Hälfte der Kurve sich etwas erhebt (die Kurve also unsymmetrisch 

 gegen die horizontale Achse wird), indem er setzte: 



a; = a sin (p 



?/ =^ ß cos 9 + Y cos 'f '^. 



Damit erhielt er zwar eine Kurve, die der von ihm experimentell beob- 

 achteten Bahn der Wasserteilchen sehr nahe kam, geriet aber schHeßlich 



