Formeln XXXII bis XXXIV. , 159 



stelle offen ist, also nur die eine Hälfte der in Fig. 42 dargestellten Wasser- 

 masse schwingt (vgl. auch Fig. 43). 



Die sogenannte einknotige oder uninodale Schwingungsart ist die 

 einfachste in einem gegebenen Gefäß, und sie hat die längste Periode. 

 Für ein Gefäß von rechtwinkligem Querschnitt gehorcht diese nach 

 Eud. Merian^) dem Gesetze : 



t^^^^. 'l +^ J ^Ji^eoth-^ . . . XXXII 



e — e 

 worin t die ganze Periode, l den Durchmesser des Gefäßes, p die Tiefe 

 der Flüssigkeit, und g und ;: die oben S. 6 gegebenen Werte bedeuten. 

 Indem man die Exponentialfaktoren in Reihen auflöst und dividiert, 

 erhält man die bequemere Näherungsformel: 



21 ^ 





V'lV 



Für den Fall, daß der Durchmesser l im Vergleich zur Wassertiefe, 

 sehr groß, also "pß ein sehr kleiner Bruch ist, wird 



t = -4L=. ...... XXXIII 



V 9V 

 Sonst empfiehlt sich auch hier die Einführung eines HiHswinkels, ähnlich 

 wie früher S. 16, 



cot ^ = e^^'^ 

 danach : 



^2 = ^''•^, , XXXIV 



g . cos Zf^ 



Man gelangt zu diesen Formeln auch, wenn man sich der Entstehung 

 der stehenden Wellen durch Reüexion fortschreitender Wellen erinnert. In 

 flachem Wasser war nach Airys Formeln XIV bis XVI 



~i /"~2~s<i ö T , a X \ 

 X = \/ . -^ . K und wenn -5- = , t = , . 



Beachten wir, daß t = t und für eine uninodale Schwingung }. = 2 l, so erhalten 



wir die Meriansche Gleichung. B3i einer binodalen Schwingung (Fig. 41 



und 43) , wo 1=1, würde die 



Schwingung in der Hälfte der -^^8- ^'^• 



Zeit t erfolgen. Bei einer trino- ^ £ BF B 



dalen Schwingung (s. Fig. 40) ist- -_._ ^__^_^-^_____^^ 



X = ^/s l, erfolgt die Schwingung _,— -'-^^^^'*^^~--^^_ ----^^^^^^'~^^'~^^-— — _ 



also auch in ^.'2 . ^,'3 = ^,'3 der l ■ 



Zeit t usf. , bei einer n-nodalen 

 Schwingung in ^/nt. Hier tritt 

 die Analogie zu den harmonischen Obertönen eines Grundtones wieder her- 

 vor. Anderseits ergeben sieb, wenn wir die einzelnen Teile von A betrachten, 

 die aus der beistehenden Fig. 43 ohne weiteres ersiclithchen Beziehungen: 

 Z = AB, 1 = 2 AD oder 2 DB, 1 = 2 EF, l = 4 AE oder 4 FB, worauf 

 später noch zurückzukommen, ist. 



2) Über die Bewegung tropfbarer Flüssigkeiten in Gefäßen, Basel 1828, S. 31. 



Ftehende Welle mit zwei Knoten. 



