66 MATHEMATICAL FORMULAE AND ELLIPTIC FUNCTIONS 



3.140 



1. sin 2 x -+- sin 2 y = i - cos (x + y) cos (x y). 



2. sin 2 x - sin 2 y = cos 2 y cos 2 x 



= sin (x + y) sin (x ;y). 



3. cos 2 x sin 2 y = cos (# + y) cos (# y). 



4. sin 2 (x + y) + sin 2 (x - y) = i - cos 20; cos 2^. 



5. sin 2 (x + y) - sin 2 (x - y) = sin 2* sin zy. 



6. cos 2 (# + ?) + cos 2 (x - y) = i + cos 2x cos 2y. 



7. cos 2 (# + y) - cos 2 (# - y) = - sin 2* sin 2y. 



3.150 



1. cos nx cos w# = i cos (n - m)x + } cos (n + w)#. 



2. sin wj sin w# = \ cos (w - m)x % cos (w + m)x. 



3. cos w# sin mx = \ sin (w + m)x - | sin (n - m)x. 



3.160 



1. g x+iy = e x (cos y + i sin y). 



2. a+* = a x {cos (y log a) + * sin (y log a) 



3. (cos xi sin #) n = cos nx ^* sin wa: 



[De Moivre's Theorem]. 



4- sin (x ty) = sin ac cosh y =t i cos # sinh y. 



5- cos (# *y) = cos x cosh y =F * sin re sinh y. 



6. cos a; = \(e ix + e~ ia: ). 



7. sin x = - - (e ix - e-. ix ). 



8. e ix = cos x + i sin x. 

 9. 



3.170 Sines and Cosines of Multiple Angles. 



3.171 n an even integer: 



sin nx = n cos x \ sin x ^ sin 3 x + ~ 2 ~ 4 sin 5 # - 1 



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