3 THÉORIE DES NOMBRES. 



d^étendue étrangères à la science des nombres , voici comment on 

 pourra y suppléer. 



Soit A le plus grand des nombres A et B , soit Cleur différence , 

 et en conséquence A = B ■]- C. On accordera aisément que le 

 produit de A par B est composé du produit de B par S , et du 

 produit de C par B ; de sorte qu'en écrivant le multiplicateur le 

 dernier, ona.AxB—BxB-\- CxB. Mais le produit de B par A 

 ou par B ■{■ C est composé aussi de B pris B fois et de B pris C fois y 

 de sorte qa'oiia.BxA=BxB + BxC. De-là on voit que le produit 

 A xB sera le même que le produit B X A, si le produit partiel 

 Cx B est égal à B xC. Mais par la même raison, l'égalité entre 

 CB et B C se prouvera par Fégalité entre deux produits plus petits 

 CD et Z? C, et en continuant ainsi , on parviendra nécessairement 

 soit au cas où les deux facteurs sont égaux , soit au cas où Fun 

 d'eux est égal à l'unité. Dans le premier cas , l'égalité est mani- 

 feste.; dans le second, elle se conclut de ce que H xi est la même 

 chose que i X H, Fun et l'autre étant égal à H. Donc le produit 

 A X B est toujours égal au produit B x A. 



II. On suppose ordinairement , qu^'en muTtrpliant tm nombre 

 donné M. par un autre nombre N qui est lui-même le produit des 

 deux facteurs ^ et B ^ il revient au même de multiplier M. par iV" 

 tout d'un coup , ou bien de multiplier d'abord jîf par A ^ ensuite 

 le produit par B. Cette conclusion , considérée en général , peut 

 cependant ne paroître ni absolument évidente y ni une suite de 

 la proposition précédente. 



Pour la démontrer, imaginons un assemblage de sphères égales, 

 ou de cubes égaux rangés en forme parallélipipède , de manière 

 qu'on en compte un nombre M. dans le sens de la longueur, un 

 nombre ud dans le sens de la largeur , et un nombre B dans le sens 

 de la hauteur; il y aura , cela posé , différentes manières de trouver 

 le nombre total des sphères , et ces différentes manières donnerant 

 certainement le même résultat. 



Si on ne considère d'abord qu'une sphère dans la hauteur , le 

 Bombre des sphères résultera du produit des autres dimensions 

 A etB ^et sera AxB. Il faudra ensuite multiplier ce produit 



